七十二、一决雌雄!(上)
说话间,被胡沛薇称为“沈老师”的中年男子拿出三张纸分发给大家:“题量不大,就6道题,关键是要动点脑筋。因为咱们是练手,所以没时间限制,做完为止。旁边有A4纸,要用自己拿。没什么问题的话,那就开始吧?”
最初听沈老师说参考前几年的国际奥数题型,江水源心里就“咯噔”了一声,因为他翻过历届国际奥数真题,深知其中的诡谲玄奥。再听说只有6道题,他已经考虑是不是晚上就睡在这里了。果然,他看到第一道题就有些懵:“平面上给定100个点,无三点共线。求证:这些点构成的三角形中至多70%是锐角三角形。”
再看第二道题:“在凸四边形ABCD中,AB•CD=BC•DA,点X在四边形ABCD内部,且满足∠XAB=∠XCD,∠XBC=∠XDA。证明:∠BXA+∠DXC=180°。”
第三题:“一个国际社团的成员来自6个国家,共有成员1978人,用1、2、3、4……1997、1998来编号。请证明:该社团至少有一个成员的顺序号数,与他的两个同胞的顺序号数之和相等,或者是一个同胞的顺序号数的2倍。”
第四题:“n为给定正整数,S={(x,y,z)|x,y,z ∈{0,1,2…,n},x+y+z>0}是三维空间中(n+1)^3-1个点的集合。视求其并集包含S但不含(0,0,0)的平面个数的最小值。”
第五题……
第六题……
六道题分别涉及代数、几何、数论和组合数学四大类,难度都在中等以上——注意,是国际奥赛的中等,不是普通高中月考的中等。要知道中学数学教育界有时会把数学分为三类:初等数学,高等数学,以及介于初等数学和高等数学之间、以各类奥数题为代表的竞赛数学。竞赛数学除了具体知识较初等数学有所扩充外,更重要是体现在思维、方法上。
直白一点说,就是脑袋瓜子要够聪明、够灵活!
把六道题扫完后,江水源直接和葛大爷说道:“葛老师,帮我们订午饭吧!”
葛大爷有些幸灾乐祸:“没问题,要不要晚饭也帮你一起订了?你这样磨磨蹭蹭,估计我还得再帮你订间房。”
江水源侧过头看看,发现胡沛薇已在奋笔疾书,张谨则皱着眉头咬着笔杆在苦思冥想。他拿过一沓A4纸,也准备答题。
刚才看过一遍题目,心里大致有数:6道题里面,有3道题思路相对清晰,比如第一题,看上去是几何题,其实是道组合数学题,要把平面上给定的点视为一个集合,把点构成的三角形再视为一个集合,构成的锐角三角形也视为一个集合,然后想办法来证明结论。再比如第二题,肯定是要用四点共圆和托勒密定理的。剩下的3道题里,有2道题隐隐约约有些想法,还有1道第四题则毫无头绪。
这还是江水源获得手镯加持以来,第一次在考试中遇到毫无头绪的题目。难道胡沛薇平时就拿这种题目练手?还是说,湖广奥数已经强大到了这种地步?以前看武侠小说,总说行走江湖三种人不能惹,老人、小孩、女子,今天算是见识了。
江水源摇摇头,把脑袋里的多余情绪全部清空,开始全身心投入到解题大业中。
题目很难,而且变化曲折,感觉就像个磨人的小妖精,浑身上下散发着让人不由自主掉进坑里的坑爹气息,必须打起十二分精神来应付。
一陷进去,就忘记了时间流逝。
等到第三题刚开个头,就听葛大爷招呼道:“饭来了!先吃饭吧,磨刀不误砍柴工。”
“没错。皇帝不差饿兵,吃饱了才有精力做题。”沈老师边说边摆开碗筷,顺便还传授考试秘诀:“不过考试时也不能吃得太饱,吃得太饱,血糖升高,人容易犯困,反而容易影响思考。所以吃个六分饱就最好,要是担心考场上饿了,可以随身准备几块巧克力,随时随地补充能量。”
葛大爷瞪着江水源、张谨:“学着点,这都是宝贵经验!”
“嗯!”张谨重重地点点头。
江水源则是习惯性吐槽:既然是宝贵经验,为啥你之前不说?非得等别人提起,你才打蛇顺杆子上,莫非这就是传说中的“葛亮之所以为诸(猪)也”?
葛大爷见江水源不说话,反而主动凑到边上,拿起江水源的答题纸看了起来:“你做出了几道?”
江水源一边吃饭一边脑袋里还在高速运转,思考那道毫无头绪的第四题,根本没工夫和葛大爷斗智斗勇,直截了当地回答道:“两道。”
“两道?很不错啊!”沈老师也凑了过来,“国际奥数是考两天,每天四个半小时、三道题。刚才我们从十点多开始考,到现在还不到两小时,小江就做出了两道题,这水平、这速度,进国家集训队都问题不大!——对了,沛薇,你做出了几道?”
“也是两道。”胡沛薇不仅吃得专心,而且吃得优雅斯文,盒饭都能吃出米其林餐厅的范儿。
葛大爷马上反驳:“不止吧?据我观察,小胡至少做出了三道——就算没有三道,第三道题也快出来了。呵呵,你就不要给他们留面子了,反正他们也不在乎。”
不知是默认,还是秉承“食不言寝不语”的古训,胡沛薇没再说话,这让葛大爷逮着了发挥的机会,抖罗着手里的答题纸开始吐沫横飞:“平时不是挺能的吗?恨不得拳打莱布尼茨,脚踢拉格朗日,飞上天与欧拉、高斯肩并肩,怎么关键时候掉链子了?”
张谨捧着饭盒满脸羞愧:“我、我、我才做出了一道……”
江水源对葛大爷的冷嘲热讽早已达到“八风吹不动,稳坐紫金莲”的高超境界,此时听到他的讥诮,脑袋里却好像划过一道闪电,仿佛抓到解决第四题的某个关键,仔细寻思时却又不见踪迹。他皱着眉头下意识反问道:“你刚才说谁?”
“说你怎么了?”
“不是说我!”
葛大爷笑了:“不是你,还能有谁?总不可能我说小胡的吧?”
“不是,你说我拳打谁?脚踢谁?——哦,拉格朗日!”江水源瞬间找到了打开第四题的钥匙:先构造一个多项式,然后用差分法和拉格朗日中值定理进行做差证明,然后分情况讨论,得出结果。
回过头来看这道题目,本质上是个代数问题,很容易就能发现最小值是3n,关键是如何证明。之前他曾想过用归纳法,然而实在太过复杂,能不能成功还在两可之间。现在用差分法,不仅思路巧妙,而且步骤简单,简直是神之一手!
他立即扔下饭盒,拿过签字笔A4纸开始着手证明,唯恐稍一耽搁,灵感就不翼而飞。
葛大爷看到江水源忽然文思泉涌、下笔如飞,有些心虚地向沈老师解释道:“这个、这个,我就是随口骂骂他,纯属无心之举。这个应该不算作弊吧?”
沈老师也是无语:“应该不算吧?毕竟其他人也听到了,没见他们有什么反应。”
葛大爷左右看了看,发现胡沛薇和张谨都是一头雾水,显然是没闹明白为什么拉格朗日会对江水源有启发。
沈老师接着说道:“而且这几道题我都看过,没觉得那道题需要用拉格朗日中值定理或者四平方和定理啊!”
“对、对、对,你这么一说我也想起来了,是好像没有用到拉格朗日定理的地方!这臭小子一惊一乍地干什么?”
他们的讨论丝毫没有影响江水源的答题。十五分钟之后,江水源把笔一扔,端起快餐盒摸了摸,然后满意地点点头:“不错,饭还是温的!”
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